Basis dan Dimensi (Ruang - N Euclides, Ruang Vektor, Sub Ruang, Kombinasi Linier, Membangun Ruang Vektor, Kebebasan Linier)

Basis dan Dimensi (Ruang - N Euclides, Ruang Vektor, Sub Ruang, Kombinasi Linier, Membangun Ruang Vektor, Kebebasan Linier)

BASIS DAN DIMENSI

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

i. S bebas linier; ii. S serentang V.

Contoh 1

Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn. Karena setiap vector v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 + v2e2 + … + vnen, maka S merentang Rn sehingga S adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.

Contoh 2

Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.

Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

b = k1v1 + k2v2 + k3v3

dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan

( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 ) atau ( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )

atau

k1 + 2k2 + 3k3 = b1 2k1 + 9k2 + 3k3 = b2 k1 + 4k3 = b3 (1.1)

Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b1, b2, b3 ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari

k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 (1.2) adalah k1 = k2 = k3 = 0

seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut homogen

k1 + 2k2 + 3k3 = 0 2k1 + 9k2 + 3k3 = 0 k1 + 4k3 = 0 (1.3)

hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien

Pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena

maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R3.

Contoh Soal dan jawaban :

Baik lah itu lah contoh soal dan jawaban dari saya tentang Basis dan Dimensi . Terima Kasih!