Senin, 10 Desember 2018

Basis dan Dimensi (Ruang - N Euclides, Ruang Vektor, Sub Ruang, Kombinasi Linier, Membangun Ruang Vektor, Kebebasan Linier)

Basis dan Dimensi (Ruang - N Euclides, Ruang Vektor, Sub Ruang, Kombinasi Linier, Membangun Ruang Vektor, Kebebasan Linier)


BASIS DAN DIMENSI

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :
Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :
i. S bebas linier; ii. S serentang V.
Contoh 1
Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn. Karena setiap vector v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 + v2e2 + … + vnen, maka S merentang Rn sehingga S adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.
Contoh 2
Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.
Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
b = k1v1 + k2v2 + k3v3
dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan
( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 ) atau ( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )
atau
k1 + 2k2 + 3k3 = b1 2k1 + 9k2 + 3k3 = b2 k1 + 4k3 = b3 (1.1)
Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b1, b2, b3 ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari
k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 (1.2) adalah k1 = k2 = k3 = 0
seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut homogen
k1 + 2k2 + 3k3 = 0 2k1 + 9k2 + 3k3 = 0 k1 + 4k3 = 0 (1.3)
hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien
Pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena
maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R3.


Contoh Soal dan jawaban :




Baik lah itu lah contoh soal dan jawaban dari saya tentang Basis dan Dimensi . Terima Kasih!

Minggu, 25 November 2018

DIAGONALISASI MATRIKS

Pengertian Diagonalisasi Matriks
Diagonalisasi adalah kelanjutan materi dari nilai eigen dan vektor eigen . Rumus untuk mencari diagonalisasi yaitu D = P1AP Untuk mencari hasil diagonalisasi kita harus mencari nilai P, setelah itu kita kalikan dengan matriks yang kita simbolkan sebagai (A) dan kita kalikan lagi terhadap matriks P yang telah kita dapatkan sebelumnya.

Berikut Contoh Soal dan Jawaban yang sudah saya Isi :





Itu lah hasil soal dari saya , Jika ada yang salah hitungan tolong di comment dan berikan saran . Sekian dan Terima Kasih

Nilai EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Pengertian Nilai Eigen

Matriks  menyebabkan vektor  memanjang tanpa mengubah arah vektor, maka  merupakan vektor Eigen dari 
Nilai Eigen () adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen () adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan Elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks. Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika Murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.
Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan  yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Perhitungan Nilai Dan Vektor Eigen
Perhitungan nilai dan vektor Eigen tetap mengguankan perhitungan matriks dasar, yaitu penjumlahan matriks dan perkalian matriks. Perhitungan dimulai dengan mencari nilai Eigen, kemudian dengan nilai Eigen diperoleh (dapat berjumlah lebih dari 1 nilai) akan dihitung vektor Eigen untuk masing - masing nilai yang memenuhi persamaan.

Contoh:

Misalkan diketahui suatu matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai seperti di bawah ini.
Untuk mencari nilai Eigen akan digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks A. Pertama - tama akan dihitung polinomial karakteristik dari matriks A:
Kemudian nilai Eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik:
(Persamaan karakteristik dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran polinomial lainnya)
Dengan melakukan substitusi nilai Eigen ke dalam persamaan , maka akan diperoleh suatu persamaan baru. 
Vektor Eigen untuk masing - masing nilai Eigen kemudian dapat ditentukan dengan melakukan operasi baris elementer atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya.Sehingga akan diperoleh vektor Eigen untuk  adalah


Contoh Soal dan Jawaban Dari saya : 


Jadi Hasil Vektor Eigen dari Matriks Adalah :
X1 = [-2,1,0]
X2 = [-2,0,0]
X3 = [-1,1,1]

ALJABAR LINEAR Teknik Informatika


Sistem Persamaan Linear (SPL)

Perngertian Sistem Persamaan Linear
Secara umum sebuah persamaan linear dalam variable x1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk : a1x1 + 22 + … + n = b, dengan 1, 2, …, n dan adalah konstanta real.

Jenis-Jenis Sistem Persamaan Linear
  1. Metode Gaus
  2. Metode Gaus Jordan
  3. Metode Crammer
Berikut ini adalah contoh soal dari Sistem Persamaan Linear :
Contoh Soal Gaus beserta jawaban nya:





Berikut itu lah Contoh Soal Dan Jawaban Metode Gauss dari saya . jika ada yang kurang dan salah hitungan mohon comment di bawah . Sekian dan TerimaKasih.

Selasa, 16 Oktober 2018

Aljabar Linear Teknik Informatika

OPERASI PERKALIAN BARIS ELEMENTER

Perkalian OBE Operasi Baris Elementer (OBE) merupakan suatu operasi yang diterapkan pada baris suatu matriks. OBE bisa digunakan untuk menentukan invers suatu matriks dan menyelesaikan suatu sistem persamaan linear (SPL). 
Operasi Baris Elementer (OBE) adalah salah satu alternatif dalam menyelesaikan suatu bentuk matriks seperti menentukan invers matriks dan penerapan matriks pada sistem persamaan linear menggunakan dua cara yaitu "Eliminasi Gauss" dan "Eliminasi Gauss-Jordan".

Contoh Soal :








Senin, 08 Oktober 2018

Invers Matriks


Hallo Semua,perkenalkan Nama saya Muhammad Farras Hawari saya dari Mahasiswa STT-PLN Angkatan 2018. Baik lah kali ini saya akan menjelaskan apa Itu Invers Matrik.

Invers Matriks

Invers adalah kebalikan. Istilah invers ini biasa dipakai dalam aljabar. Invers dari 2 adalah 1/2 karena 2(1/2)=1 dan bilangan 1 ini merupakan identitas. Mudah saja mencari invers suatu anggota himpunan bilangan rasional tanpa nol terhadap perkalian, invers dari bilangan rasional a adalah 1/a. Dalam matriks juga sama, seperti yang sudah dijelaskan pada definisi di atas, jika AB=I dimana I adalah matriks identitas maka B merupakan invers matriks A dan sebaliknya. Tapi untuk mencari invers sebuah matriks tidak seperti mencari invers bilangan rasional. Karena tidak ada operasi pembagian pada matriks. Lalu bagaimana caranya mendatkan invers dari suatu matriks? Matriks jenis apa saja yang memiliki invers? Apa saja aplikasi invers matriks? Mari kita bahas.
Definisi Invers Matriks:
Misalnya matriks A dan B masing-masing adalah matriks persegi, sehingga AB=BA=I, maka matriks B adalah invers matriks A dan ditulis B = A-1 dan matriks A adalah invers matriks B dan ditulis A = B-1. Matriks A dan B adalah matriks yang saling invers.
Tidak semua matriks memiliki invers, hanya matriks persegi dengan determinan tidak sama dengan nol yang memiliki invers. Secara umum, invers dari matriks persegi A atau ditulis A-1 adalah sebagai berikut.
Dengan det (A) adalah determinan matriks A dan adj(A) adalah adjoin matriks A. Adjoin matriks A adalah transpose dari matriks kofaktor A. Untuk matriks A yang berordo 2 x 2 inversnya adalah sebagai berikut.


Invers matriks digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks dan sistem persamaan linear. Perlu diingat bahwa pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif. Hal ini berpengaruh pada penyelesaian persamaan matriks. Perhatikan persamaan matriks berikut.
AX = B
Untuk mencari matriks X caranya adalah sebagai berikut.
X = A-1B
Sedangkan untuk persamaan dengan bentuk berikut.
XA = B
Untuk mencari matriks X adalah dengan cara sebagai berikut.
X = BA-1
Perhatikan bahwa walaupun ruas kiri sama-sama perkalian matriks A dengan matriks X tapi penyelesaian keduanya berbeda. Untuk persamaan pertama invers dari matriks A dikalikan dari kiri sedangkan pada persamaan kedua dikalikan dari kanan. Ini tergantung dari letak matriks A pada ruas kiri.
Pada persamaan pertama, matriks A terletak di sebelah kiri matriks X. Oleh karenanya, invers dari matriks A dikalikan dari sebelah kiri juga di ruas kanannya. Begitu pun dengan penyelesaian persamaan matriks kedua.
Contoh Soal dan pembahasan
Tentukan matriks X yang berordo 2x2 yang memenuhi 


Jawaban:


Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan invers matriks.


Jawaban:
Ubah bentuk sistem persamaan di atas menjadi bentuk matriks


Lanjutkan dengan langkah menentukan matriks peubah menggunakan invers matriks. 


Diperoleh nilai x=5 dan y=2.



Terima Kasih